【数学大师高中】等比中项公式——十二平均律

被誉为乐器之王的钢琴，是一种很娇贵、敏感的乐器，在长期使用过程中，任何钢琴都会出现机械故障。

定期的调律维护是必不可少的，钢琴调律师以十二平均律理论为依据，对琴弦的张力和机件的运动进行调整，使所调钢琴的琴音又准又稳。

十二平均律，是一种音乐定律方法， 简而言之，就是把半根琴弦按照等比数列平均分成十二份。

12个数构成等比数列太过复杂，现在我们探讨三个数成等比数列的规律。在两个非零数字a和b之间，插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么称G是a与b的等比中项。

按照等比数列的定义，一定会有G比a，等于b比G。这个式子整理一下，能得到a乘以b，等于G平方，这个乘法式，也就是等比中项公式。

比如12，6，3这三个数，构成一个公比为二分之一的等比数列，那么我们就说6是12和3的等比中项，而且它们一定满足等比中项公式，也就是12乘以3，等于6的平方。

等比数列an中，任意相邻三项an-1，an，an+1,都是成等比数列的，所以一定满足等比中项公式，an-1乘以an+1，等于中间项an的平方。

在等比数列中，中项公式也可以由公比q直观地表现出来， an+1，可以表示为an乘以q， an-1，可以表示为an除以q，这样的话，an-1，与an+1相乘，会恰好等于an的平方，同样的， an+2，可以表示为an乘以q平方， an-2，可以表示为an除以q平方。

那么an-2乘以an+2，也会等于an的平方。以此类推，等比数列中，只要下角标为正整数，由中项公式可以推广得到，an的平方，等于an-1乘以an+1 ，同时也等于an-2乘以an+2，等等，等于到an-k乘以an+k 。

例如等比数列an中，a4乘以a6等于2，求a2乘以a8. 我们用等比中项规律来解这个题，a4与a6的中间项是a5，所以满足等比中项公式，a4乘以a6，等于a5平方，

同时，a2与a8，下标2和8的中间数也是5，所以也会满足a2乘以a8，等于a5平方，所以也等于2.

学以致用，用以促学。利用等比中项规律，来解决上面这种问题，会特别方便，大大减少计算量。通过上面这个实例，我们也能发现，等比中项规律的更通用的表现形式，a4乘以a6，等于a2乘以a8。

一般地，等比数列中，只要下标是正整数，am乘以an，等于ap乘以aq，当且仅当，m+n，等于p+q。 这里要注意，项是乘积相等，而下标是和相等。

这个更一般的等比中项规律，同样也适用于四个数成等比数列的情形。如果四个数a，b，c，d成等比数列，那么一定有ad等于bc成立。

等比中项规律，揭示的是等比数列中的对称性，在具体表现形式上有多种形式，在解题应用时也要灵活挑选。

现在我们利用等比中项公式来求解问题。等比数列an中，a3等于1，a7等于2，求a5. 根据等比中项公式，a5平方等于a3乘以a7，等于1乘以2等于2，所以a5等于正负根号2.

解到这里要注意，因为a5可以表示为a3乘以q平方，所以a5和a3同号。a3等于1为正数，所以a5只能取正根号2. 等比数列中，所有奇数项一定是同号的。